आबेल प्रमेय की परिभाषा क्या है ?

प्रश्न : आबेल प्रमेय की परिभाषा क्या होती है समझाइये ?

उत्तर : आबेल प्रमेय (Abel’s theorem in hindi ) :

डेफिनिशन : घात श्रेणियों से सम्बन्ध निम्नलिखित प्रमेय : किसी चर x की प्रत्येक घात श्रेणी a0 + a1x + a2x2 + . . . . . + anxn + . . . . . के लिए एक ऐसी संख्या R का अस्तित्व है , (जहाँ 0 ≤ R < ∞) जिसे अभिसरण त्रिज्या कहते है तथा जिसके निम्नलिखित गुणधर्म है : (1) यदि || x || < R है तो प्रत्येक x के लिए श्रेणी अभिसारी है | यदि 0 ≤ ρ < R तो | x | ≤ ρ के लिए अभिसरण एकसमान है | (2) यदि x > R है तो श्रेणी के पद अपरिबद्ध है तथा परिणामस्वरूप श्रेणी अभिसारी है | (3) |x| < R में श्रेणी का योग एक वैश्लेषिक फलन है जिसका अवकलज पदश: अवकलन से प्राप्त होता है | इस अवकलित श्रेणी की अभिसरण त्रिज्या भी R होगी | चर x सम्मिश्र भी हो सकता है | टैग : आबेल प्रमेय की व्याख्या कीजिये ?